\documentclass[fleqn,b5paper,10pt]{jarticle}  %�p���E�����T�C�Y�̐ݒ�
\usepackage{epic,eepic,eepic2,amssymb,amsmath,schlmath,mathtips}
\usepackage[dvips]{graphicx}
%\Shiken%% �����p�̗]�������Ȃ��ݒ�
%\documentstyle[b4jw,twocolumn,fleqn,epic,eepic,eepic2,picins,amssymb,schlmath]{jarticle}
%%\setlength{\columnseprule}{0.4pt}
%%\setlength{\columnsep}{2zw}
\def\labelenumi{\fbox{\bf\theenumi}}
\def\labelenumiii{(\theenumiii)}
\def\theenumii{\arabic{enumii}}
\setlength{\mathindent}{5zw}
\setlength{\AnsMathIndent}{2zw}
\def\HS{\hskip 1cm minus 0.8cm}
\def\NO{\hskip1pt plus2pt minus1pt\fbox{\No}\hskip1pt plus2pt minus1pt}
\def\LabelNo{\KANA\theLocalNumber}
\def\NO{\fbox{\No}}
\def\Tr#1#2#3#4#5#6{\begin{tabular}{c|ccc}$#1$&$#2$&$\to$&$#3$\\\hline$#4$&$#5$&$\to$&$#6$\end{tabular}\hskip5pt plus5pt minus5pt}%
\def\TTr#1#2#3#4#5#6#7#8#9{\begin{tabular}{c|ccc}$#1$&$#2$&$\to$&$#3$\\\hline$#4$&$#5$&$\to$&$#6$\\\hline$#7$&$#8$&$\to$&$#9$\end{tabular}\hskip5pt plus5pt minus5pt}%
\def\Tab{\hskip20ptminus15pt}%
\def\p#1{\frac{\pi}{#1}}
\def\P#1{\FRAC{\pi}{#1}}
\def\l{\left}
\def\r{\right}
\def\SANKAKU{\triangle}
\def\KAKU{\angle}
\BoxLineHuto
\def\F#1#2{\FRAC{#1}{#2}}
\def\HIDDEN{1} % 0=��� , 1=�� , 2=�q���g
\title{���@��}
\����
\pagestyle{plain}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle

\section{�u���@��v �Ƃ́i��`�j}
      �̐��ɂP�ԖځC�Q�ԖځC�R�ԖځC�����Ə��������ĕ��ׂ����́C���Ƃ���
        $$\F11,\ \F12,\ \F13,\ \cdots\cdots$$     
      �̂悤�Ȃ��̂� \textbf{����}�Ƃ����B���̂��̂��̂̐��𐔗�� \textbf{��}�Ƃ����C���߂��珇����\textbf{����(��P��)�C��Q���C��R���C����}�Ƃ����B
      ���_�I�ɂ����΁A����Ƃ͎��R���ɑΉ����鐔�̗�C�������R�� 
      $$1�C2�C3,4�C\cdots n$$ 
      ��\textbf{�֐�}�ł���B�i���̎��_���؂ɂ��Ăق����B�j\par
      ����̐�������Ȃ��������̂𖳌�����C�L���ŏI�����̂�L������Ƃ����B�L������̍Ō�̐���\textbf{����}�Ƃ����B
        ��̗�Łu�����v�̂Ƃ���͂ǂ�Ȑ�������ł��邩�킩��Ȃ����A�悭
�@�@�@�݂�� \par       
             ���� $=\F11$ �C��Q�� $=\F12$ �C��R�� $=\F13$�C$\cdots$�C���Ȃ킿
                    
                            
      ���̐���� �C�e�� $=\F1{���̔ԍ�}$ �Ƃ����K���ō���Ă���B
                          
     ����� ��100��$=\F1{100}$ �C��2317�� $\F1{2317}$ �ł���B���̔ԍ��� $n$ �Ƃ���
                    
       �� $n$ �� $\F1{n}$  $\cdots\cdots\cdots$ (��)�@�ƕ\�����B
                  
       ���ہC(��)�ɂ����āC$n=1,2,3,4,\cdots$ �Ƃ����� ���̐���̂��ׂĂ̍���
       �����邩��C(��)�͂��̐���̍�����ʂɑ�\������̂Ƃ����悤�B
       �����ŁC(��)�����̐���̈�ʍ��i�܂��͑� $n$ ���j�Ƃ����B
       ����(��P��)�� $a_1$�C��$�Q$���� $a_2$�C�� $3$ ���� $a_3$�C$\cdots$ ��$n$ ��(��ʍ�)�� $a_n$ �ƕ\�����Ƃɂ��� $a_n$ ��$n$ �̎��ŕ\����� �C�ӂ̍��̔ԍ��ɑΉ����鐔���Z�o���邱�Ƃ��ł���B$a_n$ �����R�� $n$ �̊֐��Ƃ����Ӗ����킩��ł��낤�B

 �y���K �P�z���̐���̈�ʍ�(�� $n$ ��)�� $n$ �̎��ŕ\���B\par
  \YYToi{$1,3,5,7,\cdots$}{$2,4,6,8,\cdots$}\vfill
  \YYToi{$2,4,8,16,\cdots$}{$\F13,\F15,\F17,\cdots$}\vfill

 �y���K �Q�z���̊e����̍ŏ��� $5$ ���������B\par
  \YYToi{$a_n=3n+2$}{$a_n=n^2+1$}\vfill 
  \YYToi{$a_n=\l(-\F12\r)^n$}{$a_n=\F1{1+n^2}$}\vfill

 �y���K�R�z���̊e����̈�ʍ��� $n$ �̎��ŕ\���B\par
  \YYToi{$1,0,1,0,\cdots$}{$1,11,111,1111,\cdots$}\vfill

�@������ $2,2,2,\cdots$ �ȂǂƂ�������� $n$ �ɂ͊֌W�Ȃ��� $a_n=2$ �ƕ\���C
             ���̂悤�Ȑ���� \textbf{�萔��} �Ƃ����B
\newpage

\section{��������}
    ����G$10,14,18,22,26,\cdots\cdots$ ��\par
    ����G$7,2,�|3,�|8,�|13,\cdots\cdots$ \par
    �Ȃǂ̂悤�ɗׂ荇���Q���̍�(��̍�����O�̍�����������)�����̐����\textbf{��������}�Ƃ����B���̍��� \textbf{����}�Ƃ����B���ꂼ��̐���̌����� $4$ ��$-5$ �ł���B\par
  \textbf{�y��������̈�ʍ��z}\par
      ���� $a_1=a$ �C������ $d$ �Ƃ���B���̔ԍ� $1,2,3,\cdots,n$ �Ƃ̑Δ������Ă݂悤�B
 $$\zogen{
{�ԍ�, 1,2,3,4,\cdots,n}                                                  
{�� ,     a,a+d,a+2d,a+3d,\cdots,a+(n-1)d}
}$$
     ���Ȃ킿�C��ʍ� $a_n=a+(n-1)d$ �ŕ\�����B\par
     
  \begin{center}
\begin{tabular}{|ccc|} \hline
 &  &  \\
\textbf{��ʍ�} & $a_n=a+(n-1)d$ &  \\
 &  &  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

 
 EX1. ���̊e����̈�ʍ������߂�B�܂��C��50�������߂�B\par
  �@ $100,93,86,\cdots\cdots$\par
 �@�i���j ���� $a=100$�C���� $d=-7$ �ł��邩��\par
        $a_n=100+(n-1)\cdot(-7)=-7n+107$\par
        $n=50$ �̂Ƃ��C$a_{50}=-7\cdot50+107=-243$\par
 EX2. ��V�����|41�C��P�O�����|32�ł��铙������ɂ����ď����ƌ��������@�@�@�@�@�߂�B�܂��ŏ��ɐ��ƂȂ鍀�͑扽�����B\par
   �i���j ������ $a$�C������ $d$ �Ƃ���Ƃ��C\par
   $a_7=-41,\ a_{10}=-32$ ���\par
 $$\RENRITU{
 a+6d=-41\cdots\MARU1\\
 a+9d=-32\cdots\MARU2
 }$$\par
������ $a=-59,\ d=3$\par
 $a_n=-59+(n-1)\cdot3=3n-62>0$ ���\hspace{5mm}$n>20.66\cdots$ \par
 $n$ �͐��� �ł��邩��C$n=21$\par

�y���K�S�z\par
  (1) ����   
          $2,\F32,1,\F12,\cdots\cdots$ �̑�150�������߂�B
             
   \vfill

  (2) ��������̑�U����50,��20����8�ł���B�|67�͑扽�����B

   \vfill

  (3) ��������̑�R���Ƒ�S���̘a��19,��U���Ƒ�W���̘a��54�ł���Ƃ����B      �����ƌ��������߂�B

   \vfill
   
 \newpage

�y���K�T����ʖ��z���̐���̈�ʍ�(�� $n$ ��)�� $n$ �̎��ŕ\���B\par
   (1)\ $3,0,-3,-6,\cdots$ \hspace{3cm} (2)\ $2,4,6,8,\cdots$
   
     \vspace{3mm}
     
  (3)\ $22,42,62,82,\cdots$ \hspace{3cm}(4)\ $-1,1,-1,1,\cdots$
  
     \vspace{3mm}
     
  (5)\ $1,-1,1,-1,\cdots$  \hspace{3cm} (6)\ $-2,4,-8,16,\cdots$
  
     \vspace{3mm}
     
  (7)\ $2,-4,8,-16,\cdots$  \hspace{3cm}(8)\ $9,99,999,9999,\cdots$

     \vspace{3mm}

\fbox{��R} �� $n$ �� $a_n=4n+3$ �ł���悤�Ȑ��� $\{a_n\}$ �͓�������ł��邩�B
    \vspace{2mm}

�i���j $a_1=4\cdot1+3=7,\ a_2=4\cdot2+3=11,\ a_3=4\cdot3+3=15\cdots$ �Ȃǂ���\par
       ���� $4$ �̓�������ł��邱�Ƃ����@�����B�������C����͂����܂ł�
       ���@�����̂ł����Ĉ�ʐ����������Ȃ��B\par
       ��������̒�`����אڂ����Q���Ԃ̍�(��̍������������)�����ł���΂悢�̂ł��邩��,�� $(k+1)$ �Ԗڂ̍� $a_{k+1}$ ���� �� $k$ �Ԗڂ̍� $a_k$ ������������ $k$ �Ɋ֌W�Ȃ����(�萔)�ƂȂ�΂悢�B\par
       $a_{k+1}-a_k=4(k+1)+3�|(4k+3)=4\Longrightarrow$�i���)\par
            ����Đ���  $\{a_n\}$ �͓�������ł��邱�Ƃ��؂��ꂽ�B\textbf{(�I)}
            
    \vspace{3mm}

 �y���K�U�z��ʍ�(�� $n$ ��)�� $n$ �̈ꎟ���ŕ\����鐔��͓�������ł��邱�Ɓ@�@�@�@�@�������B


     \vspace{4cm}

 
 \subsection{������������}\par
    �R�� $a,\ x,\ b$ �����̏��œ���������Ȃ��Ƃ��C$x$ ���Q�� $a,\ b$ ��\textbf{��������}�Ƃ����B\par
 \fbox{��P} �Q�� $a�Cb$ �̓������������߂�B\par
   �i���j ���������� $x$ �Ƃ���B$a,\ x,\ b$ �͓���������Ȃ�����\par
        $x�|a=b�|x$\hspace{5mm}$\Yue 2x=a+b$ ����āC$x=\F{a+b}2$ (��������)\par 
                                       
    ���������̂��Ƃ𑊉����� �܂��͎Z�p���ςƂ������Ƃ�����B\par
    ��ʂɁC$a�Cx_1�Cx_2�C�����Cx_m�Cb$ ������������Ȃ��Ƃ��C$a�Cb$ �̊Ԃɂ��� $m$ �� $x_1�Cx_2,\cdots\cdots x_m$ ���Q�� $a,\ b$ �̊Ԃɂ��� $m$ �̓��������Ƃ����B

 \newpage

 \fbox{��Q} �T�ƂR�R�Ƃ̊ԂɂU�̓�������������B

    \vfill
    
\subsection{����������̘a��}
 Karl Friedrich Gauss(1777�`1855)�͂P�X���I�ɂ����钘���Ȑ��w�҂ł������B
���f���𕽖ʏ�ɕ\���A�}�`�I�Ȗ����i�����镡�f����=Gauss���ʁj�l������C�܂���͊w�ɂ����Ă��傫�ȋƐт��c���Ă���A��\�I�Ȑ��w�҂ł������B
  �ނ͐��v�Z�ɂ��ُ�ȍ˔\�������Ă������C�W�˂̂Ƃ����w�Z�Ő搶���u�P����S�O�܂ŏ��X�ɉ������킹��B�v�Ƃ������������āC�P���Ԃ͂����Ղ肩���邾�낤�Ǝv���Ă����Ƃ���C�N���X�ōŔN���� Gauss �͂����܂������Ă��܂����B
  ���Ȃ킿�C�ނ͎��̂悤�ɍl�����̂ł���B\par
$\RENRITU{
          S= 1+ 2+3+\cdots\cdots+38+39+40\\
       + S=40+39+38+\cdots\cdots3+2+1\\
       }$\par
         $\Yue 2S=\underbrace{41+41+41+\cdots\cdots+41+41+41}_{40��}$\par
         $=41\times40$ �䂦�� $S=\F{41\times40}2=820$\textbf{(��)}
         
         \vfill
                                     
\fbox{��1} ����ɂȂ炢 $1$ ���� $n$ �܂ł̎��R���̘a�����߂���������B\par
       $\l(1+2+3+\cdots\cdots+n=\F{n(n+1)}2\r)$ 

�@�@�@�@\vfill


\fbox{��2} ��������ɂ����āC���� $a$ �C���� $l$�C���� $n$ �̂Ƃ��̑��a�����߂���� $$S_n=\F{n(a+l)}2\hspace{2mm}�𓱂�$$
  
�@      \vfill

\newpage

\fbox{��3} \fbox{��2} �ɂ���� ���� $a$ �C���� $d$�C���� $n$ �̂Ƃ�
     $$S_n=\F{n\{2a+(n-1)d\}}2\hspace{2mm}�𓱂�$$

  \vfill


\begin{center}
 \textbf{�y���K���z}
\end{center}
�P�D���̓�������̘a�����߂�B\par
 (1)\ $5,13,21,\cdots\cdots$�i�� $15$ ���܂�)\hspace{2cm}(2)\ $18,15,12,\cdots\cdots$(�� $10$ ���܂�)\par
 
 \vfill

 (3)\ $1,3,5,\cdots\cdots$(�� $n$ ���܂�)\par
 
   \vfill
 

�Q�D�������� $1,5,9,\cdots\cdots$ �ɂ�����,�� $6$ ������� $20$ ���܂ł̘a�����߂�B\par

   \vfill

�R�D�� $9$ ���� $14$ ,�� $20$ ���� $47$ �ƂȂ铙������̑� $9$ ������� $20$ ���܂ł̘a�����߂�B

    \vfill

�S.������ $48$ ,������ $-3$ �ł��铙������ɂ��� �扽���܂ł̘a���ő�ɂȂ邩�B

    \vfill

�T�D�ŏ��� $n$ ���̘a $S_n=5n^2�|2n$ �Ȃ鐔��$\{a_n\}$ �͓�������ł��邱�Ƃ��ؖ�����B
     \vfill

\newpage


\subsection{�����a����}
                      
   ���Ƃ��΁C����  $1,\ \F13,\ \F15,\ \F17,\ \cdots\cdots$ [1]\par
                      
  �̊e���̋t�����Ƃ��Đ��������Ă݂�ƁC\par
           $1,3,5,7,�������$ �ƂȂ肱��͏��� $1$,\ ���� $2$ �̓�������ƂȂ�B���̂Ƃ��C���� [1] �� ���a����Ƃ����B\par
 ��ʂɁC�e���̋t��������������Ȃ��悤�Ȑ���� \textbf{���a����} �Ƃ����B\par

                        �y���K���z\par
�P�D���̐���̑� $n$ �������߂�B\par
                       
 (1)\ $1,\ \F15,\ \F19,\ \F1{13}\cdots$  (2)\ $\F65,\ \F67,\ \F69,\ \F6{12}\cdots$\par
  \vfill
 
�Q�D������ɂS�_ $\mathrm{A,\ C,\ B,\ D}$ �����̏��ɂ�����\par
    $\F{\mathrm{AC}}{\mathrm{CB}}=\F{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}$ �Ȃ�΁C\par
     $\mathrm{AC,\ AB,\ AD}$ �͒��a������Ȃ����Ƃ������B\par
     
 �i���̂Ƃ��C�S�_ $\mathrm{A,\ B,\ C,\ D}$ �� \textbf{���a�_��}���Ȃ��Ƃ����B�j

  \vfill

�R�D�R�� $a,\ x,\ b$ �����a������Ȃ��Ƃ��A$x$ �� $a,\ b$ ��\textbf{���a����}�Ƃ����B$a,\ b$ �̒��a���� $x$ �����߂�B

  \vfill
  
 \newpage

 \subsection{��[���i�Q����̖��j}

\fbox{���} ���R���� ���̂悤�ɋ�؂�B

        $$1| 2,3\ |4,5,6\ |7,8,9,10\ |11,12,13,14,15|\cdots\cdots$$
        
        \vspace{3mm}
        
\begin{tabular}{cc} 
 (1)�� $n$ �Ԗڂ̋��̖��������߂�B& (2) �� $n$ �Ԗڂ̋��̏��������߂�B\\
 (3)�� $n$ �Ԗڂ̋��̐��̘a�����߂�B& (4)$2000$ �͑扽�Ԗڂ̋��̑扽�Ԗڂ��B
\end{tabular}

       \vspace{3mm}

  �i����j
   (1) ������菜���ƁA���R���̐���ł��邩��\par
       �C�ӂ̍�=����1���炻�̐��܂ł̍���\par
      ���Ƃ��΁C��S�Ԗڂ̋��̖���10\par
 $\RENRITU{
                =1 \cdots1�Ԗڂ̋��̍���\\
                +2 \cdots2�Ԗڂ̋��̍���\\
                +3 \cdots3�Ԗڂ̋��̍���\\
                +4 \cdots4�Ԗڂ̋��̍���\\
                =10\cdots  �ƍl������B\\
}$\par
      ��ʂ� �� $n$ �Ԗڂ̋��̖�����\par
               $1+2+3+\cdots\cdots+n=\F12n(n+1)\cdots\MARU1$\par
               
               \vfill
               
  (2) �� $n$ �Ԗڂ̋��̏��� $=��(n�|1)�Ԗڂ̋��̖���+�P$\par
        $=\F12(n-1)n\cdots\MARU2$\par
                          
                \vfill
                                   
  (3) �� $n$ �Ԗڂ̋��̐����\par
      ���� $\F12(n-1)n+1$,\ ���� $1$,\ ���� $n$ �Ȃ铙������ł���\par         
     ���̘a $=\F12\{(n-1)n+2+(n-1)\cdot1\}=\F{n(n^2+1)}2$\par
     
                \vfill
     
  (4) ���� $2000$ �� �� $n$ �Ԗڂ̋��ɂ�����̂Ƃ���B\par
      $\F12(n-1)n<2000\leq \F12n(n+1)$\hspace{5mm}$\Yue n(n-1)<4000\leq n(n+1)$\par
             ����������� n=63 �𓾂�B�i�e�����݂�B)\par
      ��62�Ԗڂ̋��̖����́C$1953$ �ł��邩�� $2000$ �́C��63�Ԗڂ̋���47�Ԗڂ̐��ł���B
      
                  \vfill

 \newpage

\section{���䐔��}

   �Ⴆ�ΐ���G$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48,\ \cdots\cdots\maru1$\par
�@ �� $3$�Ɏn�܂�A������ $2$ �������Ăł�������ł���\par                                    
   �܂��A����G$36,\ -18,\ 9,\ -\F92,\ \cdots\cdots\maru2$\par
   �� $36$ �Ɏn�܂�A������ $-\F12$ �������Ăł�������ł���\par�B
   ���̂悤�ɁC���鐔�Ɉ��̐��������Ăł�������� \textbf{���䐔��}�Ƃ����A���̈��̐������̓��䐔��� \textbf{����}�Ƃ����B\par

   \MARU1�́A���� $3$,\ ���� $2$ �̓��䐔��ł���B\par
   \maru2�́A���� $36$,\ ���� $-\F12$ �̓��䐔��ł���B\par
   ���䐔��̏����C���䂪�Ƃ��� $0$ �łȂ��Ƃ��C\par
   ���� $r=\F{��̍�}{�O�̍�}=\F{a_{k+1}}{a_k}$�ŕ\���B
 
\subsection{ �����䐔��̈�ʍ�=��n����}
  ���� $a$,\ ���� $r$ �̓��䐔��̈�ʍ��i�� $n$ ���j$a_n$ �����߂Ă݂悤�B\par
  $a_1=a,\ a_2=ar,\ a_3=ar^2,\ a_4=ar^3,\ \cdots\cdots$ �ł��邩��\par
     $a_n=ar^{n-1}$ �ƕ\�����B\par
     \begin{center}
\begin{tabular}{|ccc|} \hline
 &  &  \\
 \textbf{���䐔��̈�ʍ�} & $a_n=ar^{n-1}$ &  \\
 &  &  \\\hline
\end{tabular}
     \end{center}
  
 �y���K�P�z ���̓��䐔��̈�ʍ��i�� $n$ ���j�����߂�B�܂���$7$�������߂�B

   (1)\ $2,6,18,\cdots\cdots$\hspace{3cm}(2)\ $64,16,4,\cdots \cdots$

           \vspace{5mm}


 �y���K�Q�z ��R�����T�S�C��U�����Q�ł��铙�䐔��̏����ƌ�������߂�B

            \vspace{5mm}

 �y���K�R�z ���� $a$,\ ���� $r$ �Ȃ铙�䐔��̏��߂� $n$ ���̐ς����߂�B

             \vspace{5mm}

\subsection{ �����䒆����}
   �R�� $a,\ x,\ b$ �����䐔����Ȃ��Ƃ��A$x$ �� $a�Cb$ ��\textbf{���䒆��}�Ƃ����B
   
      \vspace{5mm}

�� �Q�� $a�Cb$ �̓��䒆�������߂�B�������C$a�Cb \neq0$\par
      �i����𑊏敽�ρC�܂��͊􉽕��ςƂ������B�j

       \vspace{5mm}

\newpage

\subsection{���䐔��̘a}

\fbox{��} ���� $a$,\ ���� $r$,\ ���� $n$ �̓��䐔��̘a $S_n$�����߂�����𓱂��B\par
 \textbf{(���)}\ $S_n=a+ar+ar^2+\cdots\cdots+ar^{n-1}\cdots\MARU1$\par
  \MARU1 �̗��ӂ� $r$ ��������\par
            $rS_n=\ ar+ar^2+ar^3+\cdots\cdots+ar^{n-1}+ar^n\cdots\MARU2$\par
  $\maru1-\maru2$���\par
            $(1-r)S_n=a(1-r^n)\cdots\maru3$\par
  \maru3 ���C$r\neq1$ �̂Ƃ��C\maru3 �̗��ӂ� $1-r$ �Ŋ���ƁC
             $$S_n=\F{a(1-r^n)}{1-r}$$
        (\hspace{-.1em}i\hspace{-.1em}i ) $r=1$\ �̂Ƃ��C\par
        \maru1 �ɂ����������āC$S_n=\underbrace{a+a+\cdots\cdots+a}_{n ��}=na$\par

      �ȏ���܂Ƃ߂�� \par
 $$\RENRITU{
 (\hspace{-.1em}i) \ r\neq1\cdots\cdots S_n=\F{a(1-r^n)}{1-r}\\
 (\hspace{-.1em}i\hspace{-.1em}i) r=1\cdots\cdots S_n=na\\
 }$$

                        \textbf{�����K��聄}\par
�P�D���䐔��̏������� $n$ ���܂ł̐ς̕����́C�����Ɩ����̐ς� $n$ ��ɓ��������Ƃ��ؖ�����B

     \vfill

�Q�D���̐���̏��߂�n���̘a�����߂�B\par
  (1)\ $9,99,999,\cdots\cdots$\hspace{4cm}(2)\ $0.9,0.99,0.999,\cdots\cdots$

     \vfill

�R�D�P���Q�{���ĂR�������C���̌��ʂ��Q�{���ĂR�������C����ɂ��̌��ʂ��Q�{���ĂR��������B���̂悤�Ȍv�Z��S���� $n$ ��s�Ȃ��Ƃ��C�Ō�̌��ʂ����߂�B

    \vfill

�S�D$S=1+2x+3x^2+\cdots\cdots+nx^{n-1}$ �����߂�B

    \vfill
    
 \newpage

 \section{�L�� $\SUM$ �̗p�@}\par
  ����̐��̘a��\�����߂ɁC�L���� ���g�p�����B���Ƃ̓M���V����Łu����������v�Ƃ����Ӗ��ł���Bsigma(�V�O�})�ƓǂށB\par
 �Ⴆ�΁C$\SUM_{k=1}^5k^2$ �Ə����΁C$k^2$ �ɂ����� $k=1,2,3,4,5$ �Ƃ����ē����� $1^2,2^2,3^2,4^2,5^2$ �̘a��\���B\par
 ���Ȃ킿�C$\SUM_{k=1}^5k^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55$\par
             
 ���l�ɍl����΁C\par
          $$\SUM_{k=1}^nk=1+2+3+\cdots+n,\ \SUM_{k=1}^nk^3=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3$$
           $$\SUM_{k=1}^nk(k+1)=1\cdot2+2\cdot3+\cdots\cdots n(n+1)$$  
         
 ��ʓI�ɏq�ׂ�ƁC$\SUM_{k=1}^nx_k$ �Ƃ����΁C$x_k$ �ɂ����āC$k=1,2,\cdots,n$�Ƃ������a $x_1+x_2+\cdots\cdots+x_n$ ��\���B���Ȃ킿\par
          $$\SUM_{k=1}^nx_k=x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n$$

\textbf{�y���K�P�z}���̋L��������̐��̘a�Ƃ��ĕ\���B\par
 (1)\ $\SUM_{k=1}^n2k$\hspace{4cm}(2)\ $\SUM_{k=1}^n(-1)^kk^2$
 
  \vfill

\textbf{�y���K�Q�z}���̘a���L������p���ĕ\���B\par

    \vfill
        
 (1)\ $\F1{2^2}+\F1{3^2}+\cdots+\F1{m^2}$\hspace{4cm}(2)\ $\overbrace{3-4+5-6+\cdots}^{n ��}$\par
 
 $k$ ����X�̒l���Ƃ��Ă��C����ɖ��֌W�Ȓ萔 $c$ ������Ƃ��C
  $$\SUM_{k=1}^nc=\underbrace{c+c+\cdots\cdots+c}_{n��}=nc$$
                                                
 �i����)\ $$\SUM_{k=3}^{10}c=8c,\ \SUM_{k=m}^nc=(n-m+1)c\ (���̂�)$$
 
    \newpage
 
 \textbf{�i��P�j}�@$\SUM_{k=1}^n(x_k+y_k)=\SUM_{k=1}^nx_k+\SUM_{k=1}^ny_k$ ���ؖ�����B\par
  
     \vfill
                 
\textbf{�i��Q�j}\ $\SUM_{k=1}^ncx_k=c\SUM_{k=1}^nx_k$ �Ȃ邱�Ƃ��ؖ�����B
                
    \vfill
                              
\textbf{(��R�j}\ $\SUM_{k=1}^nk=\F12n(n+1)$\par
                                                    
  �����p���ď��� $a$,\ ���� $d$,\ ���� $n$ �̓�������̘a�����߂�����𓱂��B

    \vfill

\textbf{�y���K�P�z}\ �P�O�O�ƂR�O�O�̊Ԃɂ��鐮���̂����C$7$ �Ŋ����� $3$ �]��悤�Ȃ��̂̑��a�����߂�B\par

    \vfill

\textbf{�y���K�Q�z}\ �� $k$ ���� $3-2k$ �ƂȂ鐔��̏��߂� $n$ ���̘a�����߂�B

    \vfill

\subsection{$\SUM_{k=1}^nk^2,\hspace{5mm}\SUM_{k=1}^nk^3\hspace{5mm}(����)$}
 
 \textbf{�i��P�j}\ $\SUM_{k=1}^nk^2=1^2+2^2+\cdots\cdots+n^2=\F16n(n+1)(2n+1)$\par
                 \vfill
                 
\textbf{�i��Q�j}\ $\SUM_{k=1}^nk^3=\F{n^2(n+1)^2}4$ �������B

�@�@\vfill

\newpage

                        \begin{center}\textbf{�����K��聄}\end{center}\par

�P�D��ʍ�(�� $n$ ��) $a_n=2n^2�|n+3$ �̂Ƃ��C���̂悤�Ȑ���� $n$ ���̘a�����߂�B

     \vfill

�Q�D���̐���̏��߂� $n$ ���̘a�����߂�B
 
(1)\ $1\cdot2�C2\cdot3,3\cdot4,\cdots\cdots$\hspace{4cm}(2)\ $1,(1+2),(1+2+3),\cdots\cdots$

     \vfill

(3)\ $12,42,72,\cdots\cdots$\hspace{4cm}(4)\ $1\cdot2\cdot3�C2\cdot3\cdot4�C3\cdot4\cdot5,\cdots\vdots$

     \vfill

�R�D���̐���̍ŏ��� $n$ ���̘a�����߂�B\par
     �@$$\F1{1\cdot2\cdot3},\F1{2\cdot3\cdot4},\cdots\cdots,\F1{n(n+1)(n+2)}$$

     \vfill

�S�D$k(k+1)=\F13\l\{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\r\}$ �𗘗p����\par
     $1\cdot2�C2\cdot3,3\cdot4,\cdots\cdots$ �i�Q�D��(1)�̕ʖ@�j\par
     
     \vfill
     
  \newpage
    
\section{���w�I�A�[�@}
  �C�ӂ̎��R���ɑ΂��āC���邱�Ƃ��炪���藧���Ƃ��ؖ������i�Ƃ���
�@���w�I�A�[�@�Ƃ����̂�����B
  ���R���Ɋւ��鎟�̐����́A���}�ł͂��邪���w�I�A�[�@�̍����ł���B
      \begin{center}
\begin{tabular}{|l|} \hline
�C�ӂ̂Q�̎��R�� $a�Cb$ �ɑ΂��āC$a<b$ �̂Ƃ��C$a$ ���� \\
���߂ď����C�P���傫�����R���Ɉڂ�䂭���Ƃɂ���āC�K\\
�� $b$ �ɓ��B�ł���\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
        
               
\fbox{\textbf{��}}\ $1+2+3+\cdots\cdots+n=\F12n(n+1)\cdots\maru1\hspace{3mm}$n$ �͎��R��$\par
                       
 \textbf{(�ؖ�)}\par
        (\hspace{-.1em}i)\ $n=1$ �̂Ƃ��C����$=1$�C�E��$=1$ �䂦�ɐ��藧�B\par
        (\hspace{-.1em}i\hspace{-.1em}i)\ $n=��(����1�Ȃ鐮��)$ �̂Ƃ����藧�Ɖ��肷��B\par
      �@                       
            $$1+2+3+\cdots\cdots+k=\F12k(k+1)\cdots(��)$$
                             
        (\hspace{-.1em}i\hspace{-.1em}i\hspace{-.1em}i )$n=��+1$ �̂Ƃ��C\par
        $1+2+3+\cdots\cdots+k+(k+1)=\F12k(k+1)+(k+1)=\F12(k+1)(k+2)\ (\because (��))$\par
             
           ����� \maru1 �� $n=��+1$ �̂Ƃ��ɐ��藧���Ƃ������B\par
      (\hspace{-.1em}i)�` (\hspace{-.1em}i\hspace{-.1em}i\hspace{-.1em}i)���琔�w�I�A�[�@�ɂ��C\maru1 �����藧�� �B\textbf{(�I)}\par
              
\fbox{��P}\ $1^2+2^2+3^2+\cdots\cdots+n^2=\F16n(n+1)(2n+1)$ ���A�[�@�Ŏ����B\par
  
   \vfill

\fbox{��2}\ $1^3+2^3+3^3+\cdots\cdots+n^3=\F14n^2(n+1)^2$ ���A�[�@�Ŏ����B\par

   \vfill

\newpage

                       \textbf{�����K��聄}\par
�|���w�I�A�[�@�ɂďؖ�����B�|
                                       
�P�D$1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdots\cdots+n(n+1)=\F13n(n+1)(n+2)$\par

    \vfill
    
�Q�D
    $(1+\alpha)^n\,>1+n\alpha \ \  (\alpha>0�Cn\geq2)\cdots\cdots$�i�x���k�C�̕s�����j\par
    
    \vfill
    
�R�D$x+\F1x=t$ �Ƃ����Ƃ��C$x^n+\F1{x^n}$ �́C$t$ �� $n$ �����ŕ\�����B

�@�@\vfill

�S�D$n\geq2$ �̂Ƃ��C$2^n>1+n$

    \vfill
    
    \newpage

\section{�K������}

  ����G$x_1,\ x_2,\ x_3,\cdots�Cx_{n-1}�Cx_n�C\cdots$ �ɂ�����\par
  �ׂ荇���Q���̍��� $d_1=x_2�|x_1�C��_2=x_3�|x_2�C\cdots �Cd_n=x_{n+1}-x_n$ �Ƃ����Ă����鐔�� $\{��_n\}$ �� �K������Ƃ����B\par

\begin{center}
\begin{tabular}{ccccccccccccc}
$\{x_n\}$ &$x_1$ &  & $x_2$ &  & $x_3$ & $\cdots$ & $\cdots$ & $x_{n-1}$ &  & $x_n$ &  & $x_{n+1}$ \\
$\{d_n\}$& & $d_1$ &  & $d_2$ &  &  &  &  & $d_{n-1}$ &  & $d_n$ &  \\
\end{tabular}
\end{center}

      ������C$x_2=x_1+d_1$\par
                $x_3=x_2+d_2=x_1+(d_1+d_2)$\par
                $x_4=x_3+��_3=x_1+(d_1+d_2+d_3)$\par
                 $\vdots$                                     
              $x_n=x_1+(d_1+d_2+\cdots\cdots+d_{n-1})$\par
              $\Yue x_n=x_1+\SUM_{k=1}^{n-1}d_k$ \par
              
              \vspace{3mm}
                                 
   ���� $\{x_n\}$ �̊K������� $\{��_n\}$ �Ƃ���Ƃ��C\par
     
        $$x_n=x_1+\SUM_{k=1}^{n-1}d_k\ \ \textbf{�i�����j}$$
                                               
\textbf{�y���K�P�z}����G$1,3,6,10,15,21,\cdots\cdots$ �̈�ʍ�(�� $n$ ���j�����߂�B\par

     \vfill

\textbf{�y���K�Q�z}\ ���� $a$ �̐���� �K������͏��� $b$�C���� $r$ �̓��䐔��ł���B���̐���̑� $n$ �������߂�B

     \vfill

\end{document}
