数 列

2002 年 11 月 23 日

1 「数 列」とは（定義）

の数に１番目，２番目，３番目，と順序をつけて並べたもの，たとえば

\frac{1}{1} , \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , · · · · · ·

のようなものを数列という。そのおのおのの数を数列の項といい，初めから順序に初項 (第１項)，第２項，第３項，という。結論的にいえば、数列とは自然数に対応する数の列，即ち自然数

1， 2， 3, 4， ⋯ n

の関数である。（この視点を大切にしてほしい。）数列の数が限りなく続くものを無限数列，有限個で終わるものを有限数列という。有限数列の最後の数を末項という。上の例で「」のところはどんな数が並んでいるかわからないが、よく みれば初項 = \frac{1}{1} ，第２項 = \frac{1}{2} ，第３項 = \frac{1}{3} ， ⋯ ，すなわち

この数列は，各項 = \frac{1}{項の番号}という規則で作られている。

よって第 100 項 = \frac{1}{100} ，第 2317 項\frac{1}{2317} である。項の番号を n として

第 n 項\frac{1}{n} · · · · · · · · · (＊) と表される。

実際， (＊) において， n = 1, 2, 3, 4, ⋯ とおけばこの数列のすべての項が得られるから， (＊) はこの数列の項を一般に代表するものといえよう。そこで， (＊) をこの数列の一般項（または第 n 項）という。初項 (第１項) を a_{1}，第２項を a_{2}，第 3 項を a_{3}， ⋯ 第 n 項 (一般項) を a_{n} と表すことにして a_{n} が n の式で表せれば任意の項の番号に対応する数を算出することができる。 a_{n} が自然数 n の関数という意味がわかるであろう。【練習１】次の数列の一般項 (第 n 項) を n の式で表せ。

(1) 1, 3, 5, 7, ⋯  (2) 2, 4, 6, 8, ⋯

(3) 2, 4, 8, 16, ⋯  (4) \frac{1}{3} , \frac{1}{5} , \frac{1}{7} , ⋯

【練習２】次の各数列の最初の 5 項を書け。

(5) a_{n} = 3n + 2  (6) a_{n} = n^{2} + 1

(7) a_{n} = (− \frac{1}{2} )^{n}  (8) a_{n} = \frac{1}{1 + n^{2}}

【練習３】次の各数列の一般項を n の式で表せ。

(9) 1, 0, 1, 0, ⋯  (10) 1, 11, 111, 1111, ⋯

＜註＞ 2, 2, 2, ⋯ などという数列は n には関係ないが a_{n} = 2 と表し，このような数列を定数列という。

2 等差数列

数列； 10, 14, 18, 22, 26, · · · · · · や数列； 7, 2, − 3, − 8, − 13, · · · · · · などのように隣り合う２項の差 (後の項から前の項を引いた差) が一定の数列を等差数列という。この差を公差という。それぞれの数列の公差は 4 と −5 である。【等差数列の一般項】初項 a_{1} = a ，公差を d とする。項の番号 1, 2, 3, ⋯, n との対比を作ってみよう。

\begin{matrix}番号 & 1 & 2 & 3 & 4 & ⋯ & n \\ 項 & a & a + d & a + 2d & a + 3d & ⋯ & a + (n − 1)d \end{matrix}

すなわち，一般項 a_{n} = a + (n − 1)d で表される。

一般項 a_{n} = a + (n − 1)d

EX1. 次の各数列の一般項を求めよ。また，第 50 項を求めよ。 100, 93, 86, · · · · · · （解）初項 a = 100，公差 d = −7 であるから a_{n} = 100 + (n − 1) · (−7) = −7n + 107 n = 50 のとき， a_{50} = −7 · 50 + 107 = −243 EX2. 第７項が− 41，第１０項が− 32 である等差数列において初項と公差を求めよ。また最初に正となる項は第何項か。（解）初項を a，公差を d とするとき， a_{7} = −41, a_{10} = −32 より

\{ \begin{matrix}a + 6d = −41 ⋯ ◯^{1} \\ a + 9d = −32 ⋯ ◯^{2} \end{matrix}

これより a = −59, d = 3 a_{n} = −59 + (n − 1) · 3 = 3n − 62 > 0 より n > 20.66 ⋯ n は整数であるから， n = 21 【練習４】

(1) 数列 2, \frac{3}{2} , 1, \frac{1}{2} , · · · · · · の第 150 項を求めよ。

(2) 等差数列の第６項は 50, 第 20 項は 8 である。− 67 は第何項か。

(3) 等差数列の第３項と第４項の和が 19, 第６項と第８項の和が 54 であるという。初項と公差を求めよ。【練習５一般問題】次の数列の一般項 (第 n 項) を n の式で表せ。

(1) 3, 0, −3, −6, ⋯ (2) 2, 4, 6, 8, ⋯

(3) 22, 42, 62, 82, ⋯ (4) −1, 1, −1, 1, ⋯

(5) 1, −1, 1, −1, ⋯ (6) −2, 4, −8, 16, ⋯

(7) 2, −4, 8, −16, ⋯ (8) 9, 99, 999, 9999, ⋯

例３第 n 項 a_{n} = 4n + 3 であるような数列 {a_{n}} は等差数列であるか。

（解） a_{1} = 4 · 1 + 3 = 7, a_{2} = 4 · 2 + 3 = 11, a_{3} = 4 · 3 + 3 = 15 ⋯ などから公差 4 の等差数列であることが推察される。しかし，これはあくまでも推察したのであって一般性を持ち得ない。等差数列の定義から隣接した２項間の差 (後の項から引いた差) が一定であればよいのであるから, 第 (k + 1) 番目の項 a_{k+1} から第 k 番目の項 a_{k} を引いた差が k に関係なく一定 (定数) となればよい。 a_{k+1} − a_{k} = 4(k + 1) + 3 − (4k + 3) = 4 ⟹ （一定) よって数列 {a_{n}} は等差数列であることが証された。 (終)

【練習６】一般項 (第 n 項) が n の一次式で表される数列は等差数列であることを示せ。

2.1 ＜等差中項＞

３数 a, x, b がこの順で等差数列をなすとき， x を２数 a, b の等差中項という。問１２数 a， b の等差中項を求めよ。（解）等差中項を x とする。 a, x, b は等差数列をなすから

x − a = b − x ∴ 2x = a + b よって， x = \frac{a + b}{2} (等差中項)

等差中項のことを相加平均または算術平均ということもある。一般に， a， x_{1}， x_{2}，， x_{m}， b が等差数列をなすとき， a， b の間にある m 項 x_{1}， x_{2}, · · · · · · x_{m} を２数 a, b の間にある m 個の等差中項という。問２５と３３との間に６個の等差中項を入れよ。

2.2 ＜等差数列の和＞

Karl Friedrich Gauss(1777〜1855) は１９世紀における著名な数学者であった。複素数を平面上に表し、図形的な問題を（いわゆる複素平面=Gauss 平面）考えたり，また解析学においても大きな業績を残している、代表的な数学者であった。彼は数計算にも異常な才能を持っていたが，８才のとき小学校で先生が「１から４０まで順々に加え合わせよ。」という問題をだして，１時間はたっぷりかかるだろうと思っていたところ，クラスで最年少の Gauss はたちまち解いてしまった。すなわち，彼は次のように考えたのである。

\{ \begin{matrix}S = 1 + 2 + 3 + · · · · · · + 38 + 39 + 40 \\ +S = 40 + 39 + 38 + · · · · · · 3 + 2 + 1 \end{matrix}

∴ 2S = \underbrace{41 + 41 + 41 + · · · · · · + 41 + 41 + 41}_{40 個}

= 41 × 40 ゆえに S = \frac{41 × 40}{2} = 820(答)

問 1 これにならい 1 から n までの自然数の和を求める公式を作れ。

(1 + 2 + 3 + · · · · · · + n = \frac{n(n + 1)}{2} )

問 2 等差数列において，初項 a ，末項 l，項数 n のときの総和を求める公式

S_{n} = \frac{n(a + l)}{2} を導け

問 3 問 2 によって初項 a ，公差 d，項数 n のとき

S_{n} = \frac{n\{2a + (n − 1)d\}}{2} を導け

【練習問題】

１．次の等差数列の和を求めよ。

(1) 5, 13, 21, · · · · · · （第 15 項まで) (2) 18, 15, 12, · · · · · · (第 10 項まで)

(3) 1, 3, 5, · · · · · · (第 n 項まで) ２．等差数列 1, 5, 9, · · · · · · において, 第 6 項から第 20 項までの和を求めよ。３．第 9 項が 14 , 第 20 項が 47 となる等差数列の第 9 項から第 20 項までの和を求めよ。４. 初項が 48 , 公差が −3 である等差数列について第何項までの和が最大になるか。５．最初の n 項の和 S_{n} = 5n^{2}− 2n なる数列 {a_{n}} は等差数列であることを証明せよ。

2.3 ＜調和数列＞

たとえば，数列 1, \frac{1}{3} , \frac{1}{5} , \frac{1}{7} , · · · · · · [1]

の各項の逆数をとって数列を作ってみると， 1, 3, 5, 7, となりこれは初項 1, 公差 2 の等差数列となる。このとき，数列 [1] を調和数列という。一般に，各項の逆数が等差数列をなすような数列を調和数列という。【練習問題】１．次の数列の第 n 項を求めよ。

(1) 1, \frac{1}{5} , \frac{1}{9} , \frac{1}{13} ⋯ (2) \frac{6}{5} , \frac{6}{7} , \frac{6}{9} , \frac{6}{12} ⋯

２．直線上に４点 A, C, B, D がこの順にあって \frac{AC}{CB} = \frac{AD}{DB} ならば， AC, AB, AD は調和数列をなすことを示せ。（このとき，４点 A, B, C, D は調和点列をなすという。）

３．３数 a, x, b が調和数列をなすとき、 x を a, b の調和中項という。 a, b の調和中項 x を求めよ。

2.4 補充問題（群数列の問題）

例題自然数を次のように区切る。

1|2, 3 |4, 5, 6 |7, 8, 9, 10 |11, 12, 13, 14, 15| · · · · · ·

\begin{matrix}(1) 第 n 番目の区画の末項を求めよ。 & (2) 第 n 番目の区画の初項を求めよ。 \\ (3) 第 n 番目の区画の数の和を求めよ。 & (4)2000 は第何番目の区画の第何番目か。 \end{matrix}

（解説） (1) 区画を取り除くと、自然数の数列であるから任意の項=初項 1 からその数までの項数たとえば，第４番目の区画の末項 10

\{ \begin{matrix}= 1 ⋯ 1 番目の区画の項数 \\ +2 ⋯ 2 番目の区画の項数 \\ +3 ⋯ 3 番目の区画の項数 \\ +4 ⋯ 4 番目の区画の項数 \\ = 10 ⋯ と考えられる。 \end{matrix}

一般に第 n 番目の区画の末項は

1 + 2 + 3 + · · · · · · + n = \frac{1}{2} n(n + 1) ⋯ ◯^{1}

(2) 第 n 番目の区画の初項 = 第 (n − 1) 番目の区画の末項 + １

= \frac{1}{2} (n − 1)n ⋯ ◯^{2}

(3) 第 n 番目の区画の数列は初項\frac{1}{2} (n − 1)n + 1, 公差 1, 項数 n なる等差数列であり

その和 = \frac{1}{2} \{(n − 1)n + 2 + (n − 1) · 1\} = \frac{n(n^{2} + 1)}{2}

(4) いま 2000 は第 n 番目の区画にあるものとする。

\frac{1}{2} (n − 1)n < 2000 ≦ \frac{1}{2} n(n + 1) ∴ n(n − 1) < 4000 ≦ n(n + 1)

これを解いて n=63 を得る。（各自試みよ。 ) 第 62 番目の区画の末項は， 1953 であるから 2000 は，第 63 番目の区画の 47 番目の数である。

3 等比数列

例えば数列； 3, 6, 12, 24, 48, · · · · · · 1 ◯ は 3 に始まり、つぎつぎに 2 をかけてできた数列である

また、数列； 36, −18, 9, − \frac{9}{2} , · · · · · · 2 ◯

は 36 に始まり、つぎつぎに − \frac{1}{2} をかけてできた数列である。このように，ある数に一定の数をかけてできた数列を等比数列といい、この一定の数をその等比数列の公比という。 ◯^{1}は、初項 3, 公比 2 の等比数列である。 2 ◯は、初項 36, 公比 − \frac{1}{2} の等比数列である。等比数列の初項，公比がともに 0 でないとき，公比 r = \frac{後の項}{前の項} = \frac{a_{k+1}}{a_{k}} で表す。

3.1 ＜等比数列の一般項=第 n 項＞

初項 a, 公比 r の等比数列の一般項（第 n 項） a_{n} を求めてみよう。 a_{1} = a, a_{2} = ar, a_{3} = ar^{2}, a_{4} = ar^{3}, · · · · · · であるから a_{n} = ar^{n−1} と表される。

等比数列の一般項 a_{n} = ar^{n−1}

【練習１】次の等比数列の一般項（第 n 項）を求めよ。また第 7 項を求めよ。 (1) 2, 6, 18, · · · · · · (2) 64, 16, 4, · · · · · ·

【練習２】第３項が５４，第６項が２である等比数列の初項と公比を求めよ。

【練習３】初項 a, 公比 r なる等比数列の初めの n 項の積を求めよ。

3.2 ＜等比中項＞

３数 a, x, b が等比数列をなすとき、 x を a， b の等比中項という。

問２数 a， b の等比中項を求めよ。ただし， a， b ≠ 0 （これを相乗平均，または幾何平均ともいう。）

3.3 等比数列の和

問初項 a, 公比 r, 項数 n の等比数列の和 S_{n} を求める公式を導け。

(解説) S_{n} = a + ar + ar^{2} + · · · · · · + ar^{n−1} ⋯ ◯^{1}

◯^{1} の両辺に r をかけて

rS_{n} = ar + ar^{2} + ar^{3} + · · · · · · + ar^{n−1} + ar^{n} ⋯ ◯^{2}

1 ◯ − 2 ◯ より (1 − r)S_{n} = a(1 − r^{n}) ⋯ 3 ◯ 3 ◯ より， r ≠ 1 のとき， 3 ◯ の両辺を 1 − r で割ると，

S_{n} = \frac{a(1 − r^{n})}{1 − r}

(ii ) r = 1 のとき，

1 ◯ にたちかえって， S_{n} = \underbrace{a + a + · · · · · · + a}_{n 個} = na

以上をまとめると

\{ \begin{matrix}(i) r ≠ 1 · · · · · · S_{n} = \frac{a(1 − r^{n})}{1 − r} \\ (ii)r = 1 · · · · · · S_{n} = na \end{matrix}

＜練習問題＞１．等比数列の初項より第 n 項までの積の平方は，初項と末項の積の n 乗に等しいことを証明せよ。

２．次の数列の初めの n 項の和を求めよ。

(1) 9, 99, 999, · · · · · · (2) 0.9, 0.99, 0.999, · · · · · ·

３．１を２倍して３を加え，その結果を２倍して３を加え，さらにその結果を２倍して３を加える。このような計算を全部で n 回行なうとき，最後の結果を求めよ。

４． S = 1 + 2x + 3x^{2} + · · · · · · + nx^{n−1} を求めよ。

4 記号 ∑ の用法

幾つかの数の和を表すために，記号Σが使用される。Σとはギリシャ語で「加え合せる」という意味である。 sigma(シグマ) と読む。例えば， ∑_{k=1}^{5} k^{2} と書けば， k^{2} において k = 1, 2, 3, 4, 5 とおいて得られる 1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, 5^{2} の和を表す。

すなわち， ∑_{k=1}^{5} k^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} = 55

同様に考えれば，

∑_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n, ∑_{k=1}^{n} k^{3} = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ⋯ + n^{3}

∑_{k=1}^{n} k(k + 1) = 1 · 2 + 2 · 3 + · · · · · · n(n + 1)

一般的に述べると， ∑_{k=1}^{n} x_{k} とおけば， x_{k} において， k = 1, 2, ⋯, n とおいた和 x_{1} + x_{2} + · · · · · · + x_{n} を表す。すなわち

∑_{k=1}^{n} x_{k} = x_{1} + x_{2} + x_{3} + ⋯ + x_{n}

【練習１】次の記号を幾つかの数の和として表せ。

(1) ∑_{k=1}^{n} 2k (2) ∑_{k=1}^{n}(−1)^{k}k^{2}

【練習２】次の和を記号Σを用いて表せ。

(1) \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + ⋯ + \frac{1}{m^{2}} (2) \overbrace{3 − 4 + 5 − 6 + ⋯}^{n 個}

k が種々の値をとっても，それに無関係な定数 c があるとき，

∑_{k=1}^{n} c = \underbrace{c + c + · · · · · · + c}_{n 個} = nc

（注意)

∑_{k=3}^{10} c = 8c, ∑_{k=m}^{n} c = (n − m + 1)c (何故か)

（例１） ∑_{k=1}^{n}(x_{k} + y_{k}) = ∑_{k=1}^{n} x_{k} + ∑_{k=1}^{n} y_{k} を証明せよ。

（例２） ∑_{k=1}^{n} cx_{k} = c ∑_{k=1}^{n} x_{k} なることを証明せよ。

(例３） ∑_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n(n + 1)

これを用いて初項 a, 公差 d, 項数 n の等差数列の和を求める公式を導け。【練習１】１００と３００の間にある整数のうち， 7 で割って 3 余るようなものの総和を求めよ。【練習２】第 k 項が 3 − 2k となる数列の初めの n 項の和を求めよ。

4.1 ∑_{k=1}^{n} k^{2}, ∑_{k=1}^{n} k^{3} (公式)

（例１） ∑_{k=1}^{n} k^{2} = 1^{2} + 2^{2} + · · · · · · + n^{2} = \frac{1}{6} n(n + 1)(2n + 1)

（例２） ∑_{k=1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4} を示せ。

＜練習問題＞

１．一般項 (第 n 項) a_{n} = 2n^{2}− n + 3 のとき，このような数列の n 項の和を求めよ。２．次の数列の初めの n 項の和を求めよ。

(1) 1 · 2， 2 · 3, 3 · 4, · · · · · · (2) 1, (1 + 2), (1 + 2 + 3), · · · · · ·

(3) 12, 42, 72, · · · · · · (4) 1 · 2 · 3， 2 · 3 · 4， 3 · 4 · 5, ⋯ ⋮ ３．次の数列の最初の n 項の和を求めよ。

\frac{1}{1 · 2 · 3} , \frac{1}{2 · 3 · 4} , · · · · · · , \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}

４． k(k + 1) = \frac{1}{3} \{k(k + 1)(k + 2) − (k − 1)k(k + 1)\} を利用して

1 · 2， 2 · 3, 3 · 4, · · · · · · （２．の (1) の別法）

5 数学的帰納法

任意の自然数に対して，あることがらが成り立つことを証明する手段として 数学的帰納法というのがある。自然数に関する次の性質は、平凡ではあるが数学的帰納法の根拠である。

任意の２つの自然数 a， b に対して， a < b のとき， a から初めて順次，１つずつ大きい自然数に移りゆくことによって，必ず b に到達できる

例 1 + 2 + 3 + · · · · · · + n = \frac{1}{2} n(n + 1) ⋯ 1 ◯ nは自然数

(証明)

(i) n = 1 のとき，左辺 = 1，右辺 = 1 ゆえに成り立つ。 (ii) n = ｋ (ｋ≧ 1 なる整数) のとき成り立つと仮定する。

1 + 2 + 3 + · · · · · · + k = \frac{1}{2} k(k + 1) ⋯ (※)

(iii )n = ｋ + 1 のとき，

1 + 2 + 3 + · · · · · · + k + (k + 1) = \frac{1}{2} k(k + 1) + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)(k + 2) (∵ (※))

これは 1 ◯ が n = ｋ + 1 のときに成り立つことを示す。 (i)〜 (iii) から数学的帰納法により， 1 ◯ が成り立つ。 (終) 問１ 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + · · · · · · + n^{2} = \frac{1}{6} n(n + 1)(2n + 1) を帰納法で示せ。

問 2 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + · · · · · · + n^{3} = \frac{1}{4} n^{2}(n + 1)^{2} を帰納法で示せ。＜練習問題＞ −数学的帰納法にて証明せよ。−

１． 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · · · · + n(n + 1) = \frac{1}{3} n(n + 1)(n + 2)

２． (1 + α)^{n} > 1 + nα (α > 0， n ≧ 2) · · · · · · （ベルヌイの不等式）

３． x + \frac{1}{x} = t とおくとき， x^{n} + \frac{1}{x^{n}} は， t の n 次式で表される。

４． n ≧ 2 のとき， 2^{n} > 1 + n

6 階差数列

数列； x_{1}, x_{2}, x_{3}, ⋯ ， x_{n−1}， x_{n}， ⋯ において隣り合う２項の差を d_{1} = x_{2}− x_{1}，ｄ_{2} = x_{3}− x_{2}， ⋯ ， d_{n} = x_{n+1} − x_{n} とおいてえられる数列 { ｄ_{n}} を階差数列という。

\begin{matrix}\{x_{n}\} & x_{1} & & x_{2} & & x_{3} & ⋯ & ⋯ & x_{n−1} & & x_{n} & & x_{n+1} \\ \{d_{n}\} & & d_{1} & & d_{2} & & & & & d_{n−1} & & d_{n} \end{matrix}

これより， x_{2} = x_{1} + d_{1} x_{3} = x_{2} + d_{2} = x_{1} + (d_{1} + d_{2}) x_{4} = x_{3} + ｄ_{3} = x_{1} + (d_{1} + d_{2} + d_{3}) ⋮ x_{n} = x_{1} + (d_{1} + d_{2} + · · · · · · + d_{n−1})

∴ x_{n} = x_{1} + ∑_{k=1}^{n−1} d_{k}

数列 {x_{n}} の階差数列を { ｄ_{n}} とするとき，

x_{n} = x_{1} + ∑_{k=1}^{n−1} d_{k} （公式）

【練習１】数列； 1, 3, 6, 10, 15, 21, · · · · · · の一般項 (第 n 項）を求めよ。

【練習２】初項 a の数列の階差数列は初項 b，公比 r の等比数列である。元の数列の第 n 項を求めよ。