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%\def\Tr#1#2#3#4#5#6{\begin{tabular}{c|ccc}$#1$&$#2$&$\to$&$#3$\\\hline$#4$&$#5$&$\to$&$#6$\end{tabular}\hskip5pt plus5pt minus5pt}%

%\def\TTr#1#2#3#4#5#6#7#8#9{\begin{tabular}{c|ccc}$#1$&$#2$&$\to$&$#3$\\\hline$#4$&$#5$&$\to$&$#6$\\\hline$#7$&$#8$&$\to$&$#9$\end{tabular}\hskip5pt plus5pt minus5pt}%

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\title{数の表し方}

\author{－10進法から2進法へ－}

\date{2001.7.17}

\pagestyle{plain}



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\begin{document}

\maketitle

\hfill{倉敷古城池高等学校 数学科  \ 小野 真}

\section{「常識としての」$10$ 進法 }

われわれは，$378$ という「数字の並び方」をみるとき,三百七十八「サンビャクシチジュウハチ」と読みますね。(これを\textbf{命数法}といいます)。このように読めばわかりやすいのですが，よくよく考えれば，$3,\ 7,\ 8$ という３つの数字がこの順に並んでいるだけです。しかし，実際には $100$ を３つと $10$ を７つと $1$ を８つを合わせたものであり，



\begin{equation}
378=\underline{{\bf3}}\times10^2+\underline{{\bf7}}\times10+\underline{{\bf8}}
\end{equation}

という，表し方をします。このような表記を $10$ 進法\footnote{10進数ともいいます}といいます。同様に



\begin{equation}
56=\underline{{\bf5}}\times10+\underline{{\bf6}}
\end{equation}

\begin{equation}
5743=\underline{\bf{5}}\times10^3+\underline{{\bf7}}\times10^2+\underline{{\bf4}}\times10+\underline{{\bf3}}
\end{equation}



などと表すことができます。このような表し方を一般に「\textbf{記数法}」といいます。\par

ところで，$10$ 進法は，$0,1,2,\cdots\cdots,9$ の10個の数字を使って表されますが，このことについて少し考察してみましょう。\par

\vfill

\begin{titlebox}[15cm]{例1}

$10$ 進法で表された数が $9$ の倍数になるのは各数字の和が $9$ の倍数である。このことを示しなさい。（３けたの数について考えてみましょう）

\end{titlebox}\vfill

\begin{titlebox}[15cm]{例2}

$10$ 進法で表された数が $11$ の倍数になるのは奇数番目の数字の和と偶数番目の数字の和の差が $11$ の倍数である。このことを示しなさい。

\end{titlebox}\vfill



\newpage



\section{2進法について}

2進法\footnote{2進数ともいいます}というのは，$0$ と $1$ の２つの数字による表し方です。コンピュータは電源の 「$\mathrm{ON}=1$ ，$\mathrm{OFF}=0$ 」による2進法の世界\footnote{デジタル}です。ここでは まず，$10$ 進法の $56$ を 2進法で表してみます。\par

\begin{center}

\begin{tabular}{l|ll} 

2 & 56 &  \\\cline{2-2}

2 & 28 & …0 \\\cline{2-2}

2 & 14 & …0 \\\cline{2-2}

2 & 7 & …0 \\\cline{2-2}

2 & 3 & …1 \\\cline{2-2}

\multicolumn{1}{l}{} & \multicolumn{1}{l}{1} & \multicolumn{1}{l}{…1} \
\end{tabular}
\end{center}

10進法の $56$ は，2進法の $111000$ と変換されるわけですが，これは\par

\begin{equation}
56_{(10)}=\underline{{\bf1}}\times2^5+\underline{{\bf1}}\times2^4+\underline{{\bf1}}\times2^3+\underline{{\bf0}}\times2^2+\underline{{\bf0}}\times2^1+\underline{{\bf0}}
\end{equation}

というわけです。



\begin{titlebox}[15cm]{例3}

 \maru1 $10$ 進法の $378$ を2進法で表してみましょう\par

 \maru2 $10$ 進法の $5743$ を2進法で表してみましょう\par

 \maru3 2進法の $1010111$ を10進法で表してみましょう。

\end{titlebox}

\vfill

\section{2進法$\rightarrow$ 8進法}

 2進法 の数は，簡単に 8進法で表すことができます。例えば，$110111011$ は $\underbrace{110}_{6}\underbrace{111}_{7}\underbrace{011}_{3}$ と３けたずつに分けてみますと２進法の数 $110111011$ は，８進法の数 $673$ で表すことができます。\par

 すなわち $110111011_{(2)}=673_{(8)}$ となります。(なぜでしょうか？)\par

 最後に大学入試問題にこんな例がありましたので紹介しておきます。\par

 \begin{titlebox}[15cm]{大学入試問題から}

正の整数 $x$ が２進法でかかれているとき，それを右から３けたずつ区切っていき，２進法で各区切りの表す数 $y_{0},\ y_{1},\cdots\cdots,y_m$ を考える。もしそれらの和 $y_m+\cdots\cdots+y_1+y_{0}$ が $7$ で割りきれるならば，$x$ も $7$ で割りきれることを証明せよ。\hfill(1970年 東\ 大)

\end{titlebox}

 \vfill

\end{document}

