数の表し方

− 10 進法から 2 進法へ−

2001 年 7 月 17 日

倉敷古城池高等学校数学科小野真

1 「常識としての」 10 進法

われわれは， 378 という「数字の並び方」をみるとき, 三百七十八「サンビャクシチジュウハチ」と読みますね。 (これを命数法といいます)。このように読めばわかりやすいのですが，よくよく考えれば， 3, 7, 8 という３つの数字がこの順に並んでいるだけです。しかし，実際には 100 を３つと 10 を７つと 1 を８つを合わせたものであり，

378 = \underline{3} × 10^{2} + \underline{7} × 10 + \underline{8}  (1)

という，表し方をします。このような表記を 10 進法^{∗1}といいます。同様に

56 = \underline{5} × 10 + \underline{6}  (2)
5743 = \underline{5} × 10^{3} + \underline{7} × 10^{2} + \underline{4} × 10 + \underline{3}  (3)

などと表すことができます。このような表し方を一般に「記数法」といいます。ところで， 10 進法は， 0, 1, 2, · · · · · · , 9 の 10 個の数字を使って表されますが，このことについて少し考察してみましょう。

例 1 10 進法で表された数が 9 の倍数になるのは各数字の和が 9 の倍数である。このことを示しなさ い。（３けたの数について考えてみましょう）

例 2 10 進法で表された数が 11 の倍数になるのは奇数番目の数字の和と偶数番目の数字の和の差が 11 の倍数である。このことを示しなさい。

∗1 10 進数ともいいます

2 2 進法について

2 進法^{∗2}というのは， 0 と 1 の２つの数字による表し方です。コンピュータは電源の「ON = 1 ， OFF = 0 」による 2 進法の世界^{∗3}です。ここではまず， 10 進法の 56 を 2 進法で表してみます。

2 56
2 28 …0
2 14 …0
2 7 …0
2 3 …1
1 …1

10 進法の 56 は， 2 進法の 111000 と変換されるわけですが，これは

56_{(10)} = \underline{1} × 2^{5} + \underline{1} × 2^{4} + \underline{1} × 2^{3} + \underline{0} × 2^{2} + \underline{0} × 2^{1} + \underline{0}  (4)

というわけです。例 3 ; 1 ◯ 10 進法の 378 を 2 進法で表してみましょう ; 2 ◯ 10 進法の 5743 を 2 進法で表してみましょう ; 3 ◯ 2 進法の 1010111 を 10 進法で表してみましょう。

3 2 進法 → 8 進法

2 進法の数は，簡単に 8 進法で表すことができます。例えば， 110111011 は\underbrace{110}_{6} \underbrace{111}_{7} \underbrace{011}_{3} と３けたずつに

分けてみますと２進法の数 110111011 は，８進法の数 673 で表すことができます。すなわち 110111011_{(2)} = 673_{(8)} となります。 (なぜでしょうか？) 最後に大学入試問題にこんな例がありましたので紹介しておきます。

大学入試問題から ; 正の整数 x が２進法でかかれているとき，それを右から３けたずつ区切っていき，２進法で各区 ; 切りの表す数 y_{0}, y_{1}, · · · · · · , y_{m} を考える。もしそれらの和 y_{m} + · · · · · · + y_{1} + y_{0} が 7 で割りき ; れるならば， x も 7 で割りきれることを証明せよ。 (1970 年東大)

∗2 2 進数ともいいます

∗3 デジタル